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摘 要：针对线性系统，考虑连续增益故障模型，研究了具有执行器故障的H∞静态输出反馈可靠控制问题。首先，在执行器无故障的前提下，给出H∞性能指标存在的充分条件，进而得出系统的静态输出反馈控制率。然后，基于执行器故障，重新设计静态输出反馈控制器，利用求解线性矩阵不等式的方法，完成静态输出反馈可靠控制器的设计。由此可靠控制器构成的闭环系统，使得当执行器发生故障时，也可使闭环系统的保持渐近稳定。
关键字：执行器故障 静态输出反馈 线性系统 可靠控制 线性矩阵不等式（LMI）
1 引言
反馈控制是指在控制系统中，将系统的实际输出和期望输出进行比较，形成误差，从而为确定下一步的控制行为提供依据，实现对被控对象进行控制的任务，这就是反馈控制原理。提出了不确定时滞系统的反馈控制问题，并且给出了当执行器发生故障时，系统鲁棒镇定的条件。基于线性矩阵不等式给出了保成本可靠控制器的的参数化表示。利用凸组合方法，得出当执行器发生故障时，系统渐近稳定的条件。目前反馈控制中主要是动态输出反馈和状态输出反馈，动态输出反馈结构复杂消耗能量，状态输出反馈需要系统对状态进行采集，但一般很难做到。目前，静态输出反馈相对于动态输出反馈和状态输出反馈研究的学者较少。给出了线性系统静态输出反馈镇定的LMI方法。利用线性矩阵不等式方法设计了随机混合系统的无脉冲以及随机稳定的静态输出反馈控制器。通过构造一个二次Lyapunov函数，结合线性矩阵不等式的约束条件，给出了控制器存在的充分条件。以上文章涉及到的静态输出控制都不是可靠的，一旦系统的传感器或者执行器发生故障，系统将不再稳定，所以设计一个静态输出可靠控制是必要的也是具有实际意义的。可靠控制是将系统可能发生的故障考虑在系统控制器的设计过程中，其设计主要考虑系统的是执行器和传感器故障，故障类型分为“中断”故障和增益故障，“中断”故障也称为离散故障，增益故障也称为连续故障，本文主要研究连续故障。自1980年Siljak发表关于可靠镇定的文章以后，许多学者对其进行了深入研究。给出了在连续故障的前提下，基于LMI方法给出了反馈控制器存在的充分条件，并且提出了考虑执行器和传感器双故障的系统的完整性设计方法。以执行器故障诊断为前提，解决了连续时间系统的可靠时滞控制问题。自从上个世纪年90代初由Zames提出H∞控制以来，许多学者对H∞控制进行了研究，并设计出很多H∞控制器。研究了不确定非线性系统的H∞状态反馈可靠控制问题；针对一类含有时变时滞的不确定线性系统，基于Lyapunov稳定性理论，给出了系统存在保成本H∞鲁棒可靠控制器应满足的一个矩阵不等式。
文章首先设计了一个带有H∞性能指标的静态输出反馈控制器，当执行器发生故障时，系统不稳定。基于此，重新设计一个静态输出反馈控制器，新的控制器不仅带有H∞性能指标，而且可以抵御执行器故障。同时，文章给出了基于LMI求解静态输出反馈控制器的充分条件。所设计出的控制器保证了无论是在无故障，还是发生执行器故障时所设计的带有H∞性能指标的静态输出反馈控制器都是可靠的。数值仿真验证了本文结果的有效性和可行性。
2 问题描述
考虑线性定常系统：
![]() （1）
其中，x（t）∈Rn为系统的状态变量，u（t）∈Rp为系统的控制输入变量，y（t）∈Rm是系统的输出变量，A∈Rn×n和B∈Rn×p是不依赖系统的常规矩阵，C∈Rm×n是系统的测量行满秩矩阵。
执行器连续增益故障矩阵模型为：uf（t）＝Fau（t）。
其中u（t）∈Rp为执行器正常信号向量，uf（t）∈Rp为考虑执行器故障的信号向量。Fa为执行器故障矩阵，其形式为Fa＝diag（fa1，fa2，…，fap）
其中
故障处理（凸组合法）：
设集合
显然，集合δa有2p个元素。由集合δa的元素为顶点构成的超多面体及内部表述的集合是凸的，记为：
这样由上述两个集合描述的矩阵Fa∈Δa。对于任意Fa∈Δa使得Fa＝Fai，总可以找到αij≥0，i=1，2，…，2p满足 ![]()
使得Fa＝![]()
引理1：已知S是n×n正定对称矩阵（m≤n），G是适维行满秩矩阵，则矩阵GSG′可逆。
分析：证明GSG′可逆，等价于证明方程GSG′X＝0只有零解。
证明：设GSG′X＝0
∴XGSG′X＝0
整理得（G′X）′S（G′X）＝0
∵S是n×n正定对称矩阵
∴G′X＝0
∴GG′X＝0
又∵GG′可逆，则只有零解X＝0
综上可得，方程只有零解，即GSG′可逆，引理得证。
引理2 如果MP＝Q，P，Q∈ ![]() 则M可逆。
引理3 对系统（1），设γ＞0是一个给定的常数，则以下条件是等价的：
1.系统渐近稳定，且Γee＜γ；
2.2 存在一个对称矩阵P＞0，使得
3 主要结论
首先给出了正常线性系统静态输出反馈可靠控制器设计：
对线性系统（1）引入静态输出反馈控制器：
u（t）＝Ky（t） （2）
由此得到闭环系统：
![]() （3）
定理1 对于闭环系统系统（3），存在静态输出反馈H∞控制器的充分条件为对于正定对称矩阵X和矩阵U使得下列线性矩阵不等式（LMI）：
![]() （4）
存在可行解。如果可行解为（X，U），则相应的静态输出反馈控制器为K＝UW-1。
其中，W可以由WC＝CX求得。
证明：对于系统（1）和控制器（2）构成的闭环系统（3）是渐进稳定的且满足H∞性能指标的充分条件是存在一个对称正定矩阵X，使得
不等式两边同时乘以diag（X，I，I）得
![]() （5）
通过引入W，（5）式变
进一步变化可得LMI
其中，X＝P-1，WC＝CX，U＝KW。
下证W可逆：
对等式WC＝CX两边乘以C′得：WCC′＝CXC′
则W＝CXC′（CC′）-1
即证CXC′可逆。
由引理1可知CXC′可逆，故W可逆。
定理得证。
然后讨论系统发生执行器故障时，线性系统静态输出反馈可靠控制器的设计方法。
当线性系统发生执行器故障，系统可以描述为：
![]() （6）
对系统（7）引入静态输出反馈控制器：
u（t）＝Ky（t） （7）
由此得到闭环系统：
![]() （8）
定理2：对于闭环系统（8），如果存在静态输出反馈H∞控制器的充分条件为对于正定对称矩阵X和矩阵U，下列线性矩阵不等式：
![]() （9）
存在可行解。如果可行解为（X，U），则相应的静态输出反馈控制器矩阵增益为K＝UW-1。
其中，W可以由WC＝CX求得。
证明：对于系统（6）和控制器（7）构成的闭环系统（8）是渐进稳定的且满足H∞性能指标的充分条件是存在一个对称正
定矩阵P，使得
![]() （10）
不等式两边同时乘以diag（X，I，I）得
![]() （11）
通过引人W，（11）式变为
进一步变化可得
其中，X＝P-1，WC＝CX，U＝KW。
由于 ![]()
所以有
故有：
即不等式（9）。
其中，X＝P-1，WC＝CX，U＝KW。
4 数值仿真
本文研究的是，首先考虑正常的线性系统在无故障的情况下，通过设计带有H∞性能指标的静态输出反馈控制器使闭环系统保持稳定；再考虑正常的线性系统发生执行器故障，系统出现不稳定的情况，通过重新设计控制器，使系统达到稳定。
考虑如下系统：
设计的带有H∞性能指标的静态输出反馈控制器为
使闭环系统（3）的保持稳定，如图1。
图1 系统保持渐近稳定
图1表示的是正常的线性系统在无故障的情况下，通过设计一个带有H！性能指标的静态输出反馈控制器使系统保持稳定。
考虑发生执行器故障F＝diag（f1，f2），其中0≤f1≤1，0．5≤f2≤1．2，原控制器无法使系统稳定，如图2。
图2 系统无法保持渐近稳定
图2描述的是考虑系统在故障0≤f1≤1，0.5≤f2≤1.2情况下，在原控制器的作用下，系统无法保持渐近稳定。
针对同一故障，设计新的带有H∞性能指标的静态输出反馈控制器为：
使系统重新保持稳定，如图3。
图3 系统重新保持渐近稳定
图3描述的是对F＝diag（f1，f2），0≤f1≤1，0.5≤f2≤1.2的故障的前提下，重新设计的带有H∞性能指标的静态输出反馈控制器，使系统重新保持稳定。
5 结论
考虑线性系统，本文研究了具有执行器故障的H∞性能指标的静态输出反馈可靠控制问题。首先我们讨论了在不考虑故障的情况下，通过设计控制器使系统保持稳定；然后系统发生故障，在原控制器的作用下，系统无法保持渐近稳定；最后针对一同一系统同一故障，通过重新设计可靠控制器，使系统重新保持稳定。文章中的数值仿真以及极点配置图像证明了可靠控制器的有效性。
来源：调节阀信息网
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发表于 2017-8-2 17:44:13
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