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摘 要：在利用腔衰荡光谱技术分析痕量气体时，压电陶瓷执行器常用来调节光学谐振腔的长度。为了提高压电陶瓷执行器的定位精度，针对压电陶瓷执行器的迟滞非线性，利用Prandtl－Ishlinskii（PI）模型对执行器迟滞进行建模，分别采用最小二乘法和梯度下降法对模型参数进行辨识，同时，由于执行器迟滞曲线的非对称性，针对上升和下降过程分别进行辨识。
关键字：腔衰荡光谱 压电陶瓷 迟滞非线性 Prandtl－Ishlinskii（PI）模型 复合控制
0 引言
腔衰荡光谱（CRDS）技术是近年来发展起来的一种具有高灵敏度和高分辨率的新型吸收光谱检测技术。最初用来检测镜片的反射率，经过不断地发展，CRDS技术已成为各种痕量物质检测的有力工具。在利用CRDS技术检测大气中微量气体时，光学谐振腔长度的精度和稳定性对最终测量结果有很大影响，因此需要对腔长进行精密调节。在精密定位系统中，压电陶瓷执行器因其体积小，定位精度高及响应快等特点而被广泛使用。在利用电压方式驱动压电陶瓷时，由于压电陶瓷本身的特性，使压电陶瓷执行器的输入电压与输出位移之间存在迟滞非线性，降低了执行器的定位精度。为了减小迟滞对定位精度的影响，目前最常用的方法是通过建立压电陶瓷执行器的迟滞模型，将迟滞逆模型作为前馈补偿单元串入到压电陶瓷执行器闭环控制中，进而提高执行器的控制精度。
目前针对压电陶瓷迟滞特性的模型分为两种类型：
1）基于物理机制的迟滞模型。它是从压电陶瓷材料本身的物理性质出发，通过能量、位移或应力、应变的关系得到的迟滞模型，如Jile－Atherton（JA）模型、Bouc－Wen模型等。
2）基于现象的迟滞模型。它是根据实际的迟滞曲线，采用现有的数学模型来表示迟滞曲线，而不需要考虑迟滞系统的物理特性，如Preisach模型、Prandtl－Ishlinskii（PI）模型、Duhem模型等。Preisach模型因其能很好地表现压电陶瓷迟滞特性而被广泛使用，但由于其模型参数多，且含有双重积分，计算过程复杂，使其难以与控制器的设计结合。PI模型属于Preisach模型的一个分支，它能以较少的参数表述出压电陶瓷的迟滞特性，且不会有误差累计，目前应用越来越广泛。
1 PI模型
经典的PI模型是基于Play算子或Stop算子的迟滞模型（本文以Play算子为例），通过一系列算子加权叠加而得到迟滞模型。将输入ut）在时间域上N等分，ut）在每个子时间域［ti，ti＋1］（i＝0，1，2，…，N－1）上单调且连续，则线性Play算子可表述为
![]() （1）
式中：ti＜t＜ti＋1，0≤i≤N－1；yt）为算子输出；r为算子阈值。初始输出值y（0）可表述为
y（0）＝max｛u（0）－r，min｛u（0）＋r，y（0）｝｝ （2）
PI模型是通过上述Play算子经过加权叠加而得到，数学表述为
F（t）＝WT·Y（t） （3）
式中：W为权重函数构成的向量；Y（t）为Play算子输出构成的向量。
![]() （4）
![]() （5）
将其离散化后，可得
![]() （6）
则k时刻PI模型的输出为
![]() （7）
式中：n为Play算子的数量；wi为每个Play算子的权重系数；ri为每个算子的阈值。对于式（7），只要确定了wi和ri，即可得到PI模型。
2 模型参数辨识
经典PI模型的辨识过程，就是求解权重系数的过程。对于PI模型，算子的数量越多，模型越准确，但运算量也随着增大，因此必须综合考虑。本文以德国PI公司生产的P841.1型压电陶瓷执行器作为实验对象，利用PIMikroMove软件产生一个三角波信号驱动执行器，并采集位移信息，以便后期用于参数辨识。
2.1 最小二乘辨识
最小二乘法是通过最小化误差的平方来寻求数据的最佳函数匹配的方法，其目标函数为
![]() （8）
式中φ（i）为实际输出。
由递推最小二乘法的递推公式可得辨识参数的递推公式为
![]() （9）
![]() （10）
![]() （11）
实验中，选取n＝10；阈值的选取按照 ![]() ![]() ，其中i＝1，2，…，n；Vmax，Vmin分别为压电陶瓷执行器的最大和最小电压。由于压电陶瓷执行器的迟滞曲线不对称，使算子的权重系数在上升和下降过程中不同，所以需要对电压上升和下降的过程分别进行辨识，两个辨识过程递推公式相同。利用采集的数据进行参数辨识，得到的权重系数如表1所示。
表1 最小二乘法参数辨识结果
根据表1可得模型输出曲线，与实际的迟滞曲线对比如图1所示，拟合误差如图2所示。
图1 实际输出与模型输出对比图
图2 输出误差图
由图1，2可知，利用递推最小二乘法辨识出的模型参数可以很好地表述执行器的迟滞特性，除最大电压和最小电压位置外，其余电压区域内，模型输出与实际输出的误差基本都在0.04μm内。平均绝对误差Δ＝0.0312，均方根误差σ＝0.0335。
2.2 梯度下降法
梯度下降法是在负梯度方向上对估计值进行修正，使目标函数达到最小，对于给定的目标函数：
![]() （12）
其递推公式为
![]() （13）
式中：R（k）为N×N的对称矩阵，称为权矩阵； ![]() （k）为k时刻权重向量的估计值。对目标对函数J（w）求导可得
所以，梯度下降算法的递推公式为
![]() （15）
其中
![]() （16）
参数选取与最小二乘法相同，利用采集的输入、输出数据，同样经过上升和下降两次辨识，得到的权重系数如表2所示。
表2 梯度下降法参数辨识结果
根据表2可得模型输出曲线，与实际迟滞曲线对比图如图3所示，拟合误差如图4所示。
图3 实际输出与模型输出对比图
图4 输出误差图
由图3，4可知，利用梯度下降法辨识出的PI模型与实际迟滞曲线对比，最大绝对拟合误差为0.08μm，Δ＝0.010 1，σ＝0.015 2，与最小二乘法相比，梯度下降法的Δ和σ分别减小了67.6%和54.6%。
3 压电陶瓷逆控制
在压电陶瓷执行器控制中，最常用的方法是基于逆模型补偿法。逆模型补偿控制法是在压电陶瓷执行器闭环控制系统中串入执行器迟滞逆模型，以此来补偿执行器的非线性。PI模型相对于经典的Preisach模型来说，其优点是PI模型存在解析逆，且其逆模型与正模型有相同的结构，只是算子的阈值和权重不同，因此，只要得到执行器的逆模型，就可将其作为控制器来补偿执行器的迟滞。
由PI模型的定义可知，PI模型的逆模型可表示为
![]() （17）
其中
![]() （18）
![]() （19）
![]() （20）
![]() （21）
式中w′i为逆模型中算子的权重系数。
利用逆模型补偿法，理论上可消除执行器的迟滞非线性，但由于周围环境的影响，导致执行器的输入、输出仍存在一定的偏差，因此采用复合控制法，在逆模型补偿的基础上，加入传统比例－积分－微分（PID）控制算法，对执行器的输出误差进行修正。同时为了能更好地实时跟踪执行器在不同输入状态下的输出，采用在线辨识的方法对模型参数进行辨识，实时更新模型参数，改善执行器输入变化对模型参数造成的影响。控制方案图如图5所示。图中，y0（t）为系统的输入，y（t）为系统的输出，e（t）为输入与输出的偏差，即y0（t）－y（t）。
图5 控制方案图
为了验证试验方案的有效性，本文利用德国PI公司生产的P841.10型压电陶瓷执行器作为实验对象，控制电压范围为0～100V，输出位移范围为0～15μm，采用PI公司的E517.i3控制器，通过RS232与上位机进行通讯，实验实物图如图6所示。
图6 实验实物图
利用所得的PI逆模型搭建闭环控制系统，以正弦波和三角波作为输入，其输入范围为0～15μm，利用上位机采集输出位移，得到的跟踪情况如图7、8所示。
图7 正弦输入下跟踪效果图
图8 三角波输入下跟踪效果图
由图7、8可知，在正弦波输入下，执行器的最大绝对跟踪误差为0.083μm，平均跟踪误差为0.035μm；在三角波输入下，执行器的最大绝对跟踪误差为0.067μm，平均跟踪误差为0.028μm。
4 结束语
针对压电执行器在定位过程中存在迟滞现象，严重影响其定位精度。采用最小二乘法和梯度下降法分别建立其PI模型，结果表明，梯度下降法所建立的模型更接近其实际曲线，模型误差减小了67.6%。利用得到的PI逆模型建立压电执行器闭环复合控制，同时，采用在线辨识的方式实时更新模型参数。以PI公司的P－841.01型压电陶瓷执行器作为控制对象，采用正弦波和三角波输入，其平均跟踪误差分别为0.035μm和0.028μm，从而验证了该模型及该复合控制法的有效性，为工程应用提供了参考。
来源：调节阀信息网
转载请注明：电子人社区 | 
发表于 2017-5-10 05:26:05
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